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On Baroque Geometry:
Playing between Maths and Senses
Playing between Maths and Senses
Yuer | Self-published | 45 pages | 2023; the following text is an abstact.
Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Erfahrung durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge ergründen?
—Albert Einstein, “Geometrie und Erfahrung”, 1921
This research aims to explore Baroque architecture through the lens of geometry. While geometry usually embodies order, precision, and clarity, Baroque architecture is often seen as irregular, ambiguous, and deviating from established norms. Through diagrams, drawings, paintings and photographs, this research discusses: 1. how did geometry set the framework for the European worldview during the seventeenth and eighteenth centuries? 2. how was geometric knowledge rapidly developed and widely disseminated in this period through a large number of beautifully illustrated prints and newly established national research institutes? 3. How did this knowledge quietly shape the conceptual and aesthetic shifts in architecture from the Renaissance to the Baroque, both in theory and in practice?
几何学在巴洛克：数学与感官的游戏
Yuer | 自出版｜45页｜2023；下文为节选。
“数学，独立于所有经验之外的人类思维产物，为何如此适用于现实对象？人类理性是否在没有经验的情况下，仅仅通过思考就能摸清现实事物的属性？”
——阿尔伯特·爱因斯坦，“几何与经验”，1921[1]
让我们从“巴洛克（Baroque）”一词开始。在亚里士多德［Aristoteles, 前384-322］的逻辑学中，“巴洛克（baroco）”是一个用来记忆三段论（syllogism）的关键词，它由指向不同逻辑模态的字母缩写拼合而成。早在16世纪，这一术语就已超越了哲学范畴，被用来描述任何过于复杂和荒谬的事物。今天它通常被用来描述不规则的、怪异的或其它背离既定法则和比例的东西，尤其指向17世纪初到18世纪中流行于欧洲各地的一种艺术风格。然而作为一个风格概念，巴洛克的历史不过百余年。
德国艺术史家海因里希·沃尔夫林［Heinrich Wöfflin, 1864-1945］在其任教资格论文（Habilitation）《文艺复兴与巴洛克》（Renaissance und Barock, 1888）中试图通过对比为这种挑战规则的风格确立一些描述性原则。[2]他认为，尽管使用了与文艺复兴相同的形式系统，但巴洛克不再追求完美与完成，反而对运动与形成更感兴趣。换句话说，完美比例的理想消失了，取而代之的是考虑观看主体与运动效果的构图。人们将目光从易理解的、确定的地方转向了巨大的不确定：光与影——最变化莫测的元素——成为了表达的主要手段。
因此，巴洛克艺术家们似乎更喜欢柔软、流畅、鼓胀的形式，而不是清晰的边界和结构。沃尔夫林在米开朗基罗于1530年代设计的罗马保守宫（Konservatorenpalast）中的柱子与壁柱之间的暧昧关系中首先认识到了这一点。[3]建筑不再是单个元素的衔接艺术，而是没有实际独立性的部分的集合体。所有元素都被吸收在一个绘画般的整体形象中。艺术史家在此认识到了一种不同的再现形式，一种不同的接近世界的态度，即一种风格。[4]
历史学家将文艺复兴到巴洛克的风格转变或归因于反宗教改革（Contrareformatio）——耶稣会将其精神强加于个人，并将个人的权利牺牲于整体的理念；或归因于科学哲学的转变——经验观察与理性反思塑造了新的自我及世界；而这些变化在日常生活中也清晰可见——与文艺复兴时期的快乐与轻盈相比，巴洛克时期显得迂回且繁复。[5]然而本研究感兴趣的并非人们为什么开始倾向于这样而不是那样的形式，而是这些形式如何能够被绘制、生产、建造，如何形成一种新的生活环境并“自发地”塑造一种视觉模式。
建筑，各种艺术交汇之处，成为了首要考察之物。如果我们认同沃尔夫林关于巴洛克建筑的那些动人描述，那么核心问题在于怎样才能设计和建造巨大的、不确定的、移动的建筑，而这些建筑本身是有限的、确定的、静态的？意大利建筑师瓜里诺·瓜里尼［Guarino Guarini, 1624–1683］建造的都灵圣衣礼拜堂（Cappella della Sacra Sindone, 1668–1694）大胆的穹顶结构给人无限上升的印象（图1），而他所著《民用建筑》（Architettura Civile, 1737）的前言则为如何制造这种现象提供了一条有益线索。我们注意到人们以这样的方式来赞美作者：“本书展示了瓜里尼是一个杰出的几何学者，一个极有经验的知识渊博的数学家，尤其在建筑学领域。” [6]
换句话说，在巴洛克时期建筑学被理解为几何学的子集，是应用数学研究的结果。正是在此意义上，奥地利艺术史家达戈贝尔·弗雷（Dagobert Frey, 1883-1962）明确反对所有现代艺术史家创造的“朦胧” 的巴洛克概念，也拒绝那些诸如“像面团一样弯曲”的图像描述；相反，他将建筑概念和过程的具体性和精确性放在首位。[7] 循此思路，本研究将在17世纪几何学的发展中考察巴洛克建筑。它将论证正是投影几何使其视觉上的模糊性和感知上的不确定性变得可以预测和控制。一方面，它将展开一个更大的知识生产网络说明这一发展的外部条件———这一网络是由大型国家科学研究机构的建立和繁荣的印刷业促成的；另一方面，它将集中讨论投影几何在建筑生产中的两个主要应用——透视与切石术（将三维空间投射到二维表面上或将二维图纸投射到三维实体上）；最后它将揭示数学理想和视觉经验之间的内在矛盾。
德国艺术史家海因里希·沃尔夫林［Heinrich Wöfflin, 1864-1945］在其任教资格论文（Habilitation）《文艺复兴与巴洛克》（Renaissance und Barock, 1888）中试图通过对比为这种挑战规则的风格确立一些描述性原则。[2]他认为，尽管使用了与文艺复兴相同的形式系统，但巴洛克不再追求完美与完成，反而对运动与形成更感兴趣。换句话说，完美比例的理想消失了，取而代之的是考虑观看主体与运动效果的构图。人们将目光从易理解的、确定的地方转向了巨大的不确定：光与影——最变化莫测的元素——成为了表达的主要手段。
因此，巴洛克艺术家们似乎更喜欢柔软、流畅、鼓胀的形式，而不是清晰的边界和结构。沃尔夫林在米开朗基罗于1530年代设计的罗马保守宫（Konservatorenpalast）中的柱子与壁柱之间的暧昧关系中首先认识到了这一点。[3]建筑不再是单个元素的衔接艺术，而是没有实际独立性的部分的集合体。所有元素都被吸收在一个绘画般的整体形象中。艺术史家在此认识到了一种不同的再现形式，一种不同的接近世界的态度，即一种风格。[4]
历史学家将文艺复兴到巴洛克的风格转变或归因于反宗教改革（Contrareformatio）——耶稣会将其精神强加于个人，并将个人的权利牺牲于整体的理念；或归因于科学哲学的转变——经验观察与理性反思塑造了新的自我及世界；而这些变化在日常生活中也清晰可见——与文艺复兴时期的快乐与轻盈相比，巴洛克时期显得迂回且繁复。[5]然而本研究感兴趣的并非人们为什么开始倾向于这样而不是那样的形式，而是这些形式如何能够被绘制、生产、建造，如何形成一种新的生活环境并“自发地”塑造一种视觉模式。
建筑，各种艺术交汇之处，成为了首要考察之物。如果我们认同沃尔夫林关于巴洛克建筑的那些动人描述，那么核心问题在于怎样才能设计和建造巨大的、不确定的、移动的建筑，而这些建筑本身是有限的、确定的、静态的？意大利建筑师瓜里诺·瓜里尼［Guarino Guarini, 1624–1683］建造的都灵圣衣礼拜堂（Cappella della Sacra Sindone, 1668–1694）大胆的穹顶结构给人无限上升的印象（图1），而他所著《民用建筑》（Architettura Civile, 1737）的前言则为如何制造这种现象提供了一条有益线索。我们注意到人们以这样的方式来赞美作者：“本书展示了瓜里尼是一个杰出的几何学者，一个极有经验的知识渊博的数学家，尤其在建筑学领域。” [6]
换句话说，在巴洛克时期建筑学被理解为几何学的子集，是应用数学研究的结果。正是在此意义上，奥地利艺术史家达戈贝尔·弗雷（Dagobert Frey, 1883-1962）明确反对所有现代艺术史家创造的“朦胧” 的巴洛克概念，也拒绝那些诸如“像面团一样弯曲”的图像描述；相反，他将建筑概念和过程的具体性和精确性放在首位。[7] 循此思路，本研究将在17世纪几何学的发展中考察巴洛克建筑。它将论证正是投影几何使其视觉上的模糊性和感知上的不确定性变得可以预测和控制。一方面，它将展开一个更大的知识生产网络说明这一发展的外部条件———这一网络是由大型国家科学研究机构的建立和繁荣的印刷业促成的；另一方面，它将集中讨论投影几何在建筑生产中的两个主要应用——透视与切石术（将三维空间投射到二维表面上或将二维图纸投射到三维实体上）；最后它将揭示数学理想和视觉经验之间的内在矛盾。
01 作为几何的建筑学
巴洛克时期的几何知识首先来自于欧几里得［Euclid, 约前300］的《几何原本》（Elements）。这套共13卷的著作写于公元前三世纪，在1482年由一位德国出版商艾哈都斯·拉特多尔特［Erhardus Ratdolt, 1447-1528］首次印刷出版，并在不断翻译再版中对文艺复兴及巴洛克的科学家、建筑师与艺术家们产生了巨大影响。（图2）《几何原本》不仅收集了古希腊的数学成就，包括各种定理，比例，数列以及柏拉图几何体；也显示了一种古典的世界观，其中美与数学密切相连。如毕达哥拉斯［Pythagoras，前570-495］所言，和谐首先是事物间的关系，且能通过数学规律性来把握。
比例与和谐
在这种“数学—美学”的综合观念中对于音程或斐波那契数[8]的崇尚尤其引人注目。一种数字和比例的等级观被建立起来：一些作为美的秘密被推崇，而另一些则作为非理性（irrational）或难以表达的（ineffable）被放弃。拉斐尔［Raffaello Sanzio da Urbino, 1483-1520］在著名的湿壁画《雅典学院》（Scuola di Atene, 1509-1510）中描绘了一种古希腊的四弦乐器Lyra，并巧妙再现了毕达哥拉斯的和谐理论。每根弦上从左到右对应的数字为6、8、9、12，由此人们可以简单地得到一比二，二比三，三比四，并以下方三角形呈现出完美之十。（图3）
这一理论及其延伸在文艺复兴的科学与艺术中扮演着重要角色。比如，英国建筑史家鲁道夫·维特科尔［Rudolf Wittkower, 1901-1971］在《人文主义时代的建筑原则》（Architectural Principles in the Age of Humanism, 1949）中令人信服地阐释了建筑师帕拉弟奥［Andrea Palladio, 1508-1580］使用的比例与16世纪音乐理论之间的联系。[9] 尽管建筑师本人并没有仔细说明这一点，但《建筑四书》（Quatro Libri, 1570）中的图纸的确显示出其设计中所使用的所有数字和比例都可以转化为音程。（图4）而帕拉弟奥在人文主义学者、诗人及语言研究者特里西诺［Gian Giorgio Trissino, 1478-1550］的圈子中接受音乐教育也有迹可循。[10]
音乐和谐理论于建筑中的应用在建筑师、数学家及耶稣会士胡安·包蒂斯塔·维拉尔潘多［Juan Bautista Villalpando, 1552-1608］影响深远的《以西结释书》（In Ezechielem explanationes, 1596-1604）中更加清晰。维拉尔潘多在此书中对所罗门圣殿（the Temple of Solomon）的复原以难以想象的广度和深度集合了当时的研究成果，试图将古典建筑传统、毕达哥拉斯—柏拉图思想及圣经叙事结合起来。[11]其中作者以表格和图解的方式，通过音乐术语，如1:2/diapason/八度；2:3/diapente/五度；3:4/diatesseron/四度，1:3/diapason-diapente/12度；1:4/disdiapason/15度，简明地表达了圣殿各元素之间的比例关系。（图5）
通过音乐比例来合理化建筑设计的尝试（或者说通过前者赋予后者数学—美学基础）在巴黎皇家建筑学院院长弗朗索瓦·布隆戴尔［Nicolas-Francois Blondel，1618-1686)的《建筑学教程》（Cours d’architecture，1675-1683］——一部在接下来一个多世纪的建筑教育中不可或缺的教材——中达到了顶点（甚至时常被认为有些过度）。《建筑学教程》中几乎有一整卷都致力于比例。布隆戴尔逐一考察了意大利建筑学者及建筑师们（如维特鲁威、阿尔伯蒂、维尼奥拉、帕拉弟奥）片段化的论述并在法国音乐家勒内·乌夫拉尔［René Ouvrard, 1618-1686］的著作中发现了更为系统的诠释。根据乌夫拉尔的理论，布隆戴尔将古典建筑元素转译为音乐和弦，将其纳入统一的数学—美学自然法则之中。[12]（图6）
柏拉图几何体
音程之外，对柏拉图几何体[13]及其衍生物的迷恋在巴洛克时期也十分显著。在艺术家工作室，这些对称的多面体不仅作为掌握透视技巧的证明反复被绘制，也被用纸或木作为练习工具或作为艺术品本身大量制作出来。它们作为桌面摆件、家具及墙面装饰出现在贵族的书房之中，几乎成为了几何知识的象征，而这种知识曾经只被少数数学家和哲学家所掌握。[14]（图7）
宇宙的隐秘规律由此“直观地”向窥视者显现。德国天文学家开普勒［Johannes Kepler, 1571-1630］在他的第一部著作《世界的秘密》（Mysterium Cosmographicum, 1596）中曾设想这样一个行星系统模型，从外到内分别是当时已知的土星、木星、火星、地球、金星、水星及位于核心的太阳。在他看来，地球的轨道构成了整个行星系统构造的基本尺度，而五个柏拉图几何体控制着行星间的距离。（图8）在1619年出版的《宇宙和谐论》（Harmonices Mundi）中，开普勒根据椭圆行星轨道的假设改进了这一模型。他认为自己找到了造物主在创造太阳系时所遵循的音乐和谐规律：不是毕达哥拉斯式的调音（基于弦长和共振）而是以几何为基础的音乐比率。因此，对复杂多面体（基于但超出柏拉图几何体的“不规则”多面体）的研究构成了《宇宙和谐论》的核心。（图9）
这种研究不止是一种文化狂热，更受益于绘制方法的进步。以五边形为例，尽管欧几里德在《几何原本》的第四卷中已经建立了各种多边形的理论前提和定理，但并没有给出具体画法（图10a）——这意味着其很难应用到实践之中。文艺复兴及巴洛克时期许多科学家和艺术家都致力于更加简化和精确的多边形绘制方法，而简洁性与精确性很多时候并不兼容。罗瑞泽［Mathäus Roriczer, 约1430-1490］1486年出版的《德意志几何》（ Geometria Deutsch）中采用相同半径圆弧确定五边形各点（图10b），该方法因其易操作性在工匠之间广为流传，由此产生的五边形等边但不完全等角；丢勒［Albrecht Dürer, 1471-1528］1525年出版的《测量导论》（Underweysung der Messung）尽管给出了更精确的绘制方法（图10c），但画家本人仍然更加倾向于罗瑞泽的画法，并没有指出这一画法中的误差；直到1626年，在量角器盛行之后，施文特［Daniel Schwenter, 1585-1636］在《实践几何学的新方法》（Geometriæ practicæ novæ et auctæ tractatus, 2. Edition, 1623-27）中才展示了利用角度简单而精地绘制五边形的方法（图10d）。[15]
因此，对于巴洛克时期的建筑师来说，几何学既是一般文化知识，也是特定职业技术。它不仅是设计方法，也是设计意图。通过几何，人造物得以与自然协调。在花园、防御工事和城市建设中，建筑师不仅展示出对这些知识和技术的掌握，也展示了将图纸精确的放大至现实生活世界的能力。（图11）
然而在建筑形式上，精确运转的理想几何世界与“模棱两可的”、“运动的”视觉感受之间似乎存在矛盾。（图12）这些新的表现形式需要借助新发展的投影几何才能理解。
巴洛克时期的几何知识首先来自于欧几里得［Euclid, 约前300］的《几何原本》（Elements）。这套共13卷的著作写于公元前三世纪，在1482年由一位德国出版商艾哈都斯·拉特多尔特［Erhardus Ratdolt, 1447-1528］首次印刷出版，并在不断翻译再版中对文艺复兴及巴洛克的科学家、建筑师与艺术家们产生了巨大影响。（图2）《几何原本》不仅收集了古希腊的数学成就，包括各种定理，比例，数列以及柏拉图几何体；也显示了一种古典的世界观，其中美与数学密切相连。如毕达哥拉斯［Pythagoras，前570-495］所言，和谐首先是事物间的关系，且能通过数学规律性来把握。
比例与和谐
在这种“数学—美学”的综合观念中对于音程或斐波那契数[8]的崇尚尤其引人注目。一种数字和比例的等级观被建立起来：一些作为美的秘密被推崇，而另一些则作为非理性（irrational）或难以表达的（ineffable）被放弃。拉斐尔［Raffaello Sanzio da Urbino, 1483-1520］在著名的湿壁画《雅典学院》（Scuola di Atene, 1509-1510）中描绘了一种古希腊的四弦乐器Lyra，并巧妙再现了毕达哥拉斯的和谐理论。每根弦上从左到右对应的数字为6、8、9、12，由此人们可以简单地得到一比二，二比三，三比四，并以下方三角形呈现出完美之十。（图3）
这一理论及其延伸在文艺复兴的科学与艺术中扮演着重要角色。比如，英国建筑史家鲁道夫·维特科尔［Rudolf Wittkower, 1901-1971］在《人文主义时代的建筑原则》（Architectural Principles in the Age of Humanism, 1949）中令人信服地阐释了建筑师帕拉弟奥［Andrea Palladio, 1508-1580］使用的比例与16世纪音乐理论之间的联系。[9] 尽管建筑师本人并没有仔细说明这一点，但《建筑四书》（Quatro Libri, 1570）中的图纸的确显示出其设计中所使用的所有数字和比例都可以转化为音程。（图4）而帕拉弟奥在人文主义学者、诗人及语言研究者特里西诺［Gian Giorgio Trissino, 1478-1550］的圈子中接受音乐教育也有迹可循。[10]
音乐和谐理论于建筑中的应用在建筑师、数学家及耶稣会士胡安·包蒂斯塔·维拉尔潘多［Juan Bautista Villalpando, 1552-1608］影响深远的《以西结释书》（In Ezechielem explanationes, 1596-1604）中更加清晰。维拉尔潘多在此书中对所罗门圣殿（the Temple of Solomon）的复原以难以想象的广度和深度集合了当时的研究成果，试图将古典建筑传统、毕达哥拉斯—柏拉图思想及圣经叙事结合起来。[11]其中作者以表格和图解的方式，通过音乐术语，如1:2/diapason/八度；2:3/diapente/五度；3:4/diatesseron/四度，1:3/diapason-diapente/12度；1:4/disdiapason/15度，简明地表达了圣殿各元素之间的比例关系。（图5）
通过音乐比例来合理化建筑设计的尝试（或者说通过前者赋予后者数学—美学基础）在巴黎皇家建筑学院院长弗朗索瓦·布隆戴尔［Nicolas-Francois Blondel，1618-1686)的《建筑学教程》（Cours d’architecture，1675-1683］——一部在接下来一个多世纪的建筑教育中不可或缺的教材——中达到了顶点（甚至时常被认为有些过度）。《建筑学教程》中几乎有一整卷都致力于比例。布隆戴尔逐一考察了意大利建筑学者及建筑师们（如维特鲁威、阿尔伯蒂、维尼奥拉、帕拉弟奥）片段化的论述并在法国音乐家勒内·乌夫拉尔［René Ouvrard, 1618-1686］的著作中发现了更为系统的诠释。根据乌夫拉尔的理论，布隆戴尔将古典建筑元素转译为音乐和弦，将其纳入统一的数学—美学自然法则之中。[12]（图6）
柏拉图几何体
音程之外，对柏拉图几何体[13]及其衍生物的迷恋在巴洛克时期也十分显著。在艺术家工作室，这些对称的多面体不仅作为掌握透视技巧的证明反复被绘制，也被用纸或木作为练习工具或作为艺术品本身大量制作出来。它们作为桌面摆件、家具及墙面装饰出现在贵族的书房之中，几乎成为了几何知识的象征，而这种知识曾经只被少数数学家和哲学家所掌握。[14]（图7）
宇宙的隐秘规律由此“直观地”向窥视者显现。德国天文学家开普勒［Johannes Kepler, 1571-1630］在他的第一部著作《世界的秘密》（Mysterium Cosmographicum, 1596）中曾设想这样一个行星系统模型，从外到内分别是当时已知的土星、木星、火星、地球、金星、水星及位于核心的太阳。在他看来，地球的轨道构成了整个行星系统构造的基本尺度，而五个柏拉图几何体控制着行星间的距离。（图8）在1619年出版的《宇宙和谐论》（Harmonices Mundi）中，开普勒根据椭圆行星轨道的假设改进了这一模型。他认为自己找到了造物主在创造太阳系时所遵循的音乐和谐规律：不是毕达哥拉斯式的调音（基于弦长和共振）而是以几何为基础的音乐比率。因此，对复杂多面体（基于但超出柏拉图几何体的“不规则”多面体）的研究构成了《宇宙和谐论》的核心。（图9）
这种研究不止是一种文化狂热，更受益于绘制方法的进步。以五边形为例，尽管欧几里德在《几何原本》的第四卷中已经建立了各种多边形的理论前提和定理，但并没有给出具体画法（图10a）——这意味着其很难应用到实践之中。文艺复兴及巴洛克时期许多科学家和艺术家都致力于更加简化和精确的多边形绘制方法，而简洁性与精确性很多时候并不兼容。罗瑞泽［Mathäus Roriczer, 约1430-1490］1486年出版的《德意志几何》（ Geometria Deutsch）中采用相同半径圆弧确定五边形各点（图10b），该方法因其易操作性在工匠之间广为流传，由此产生的五边形等边但不完全等角；丢勒［Albrecht Dürer, 1471-1528］1525年出版的《测量导论》（Underweysung der Messung）尽管给出了更精确的绘制方法（图10c），但画家本人仍然更加倾向于罗瑞泽的画法，并没有指出这一画法中的误差；直到1626年，在量角器盛行之后，施文特［Daniel Schwenter, 1585-1636］在《实践几何学的新方法》（Geometriæ practicæ novæ et auctæ tractatus, 2. Edition, 1623-27）中才展示了利用角度简单而精地绘制五边形的方法（图10d）。[15]
因此，对于巴洛克时期的建筑师来说，几何学既是一般文化知识，也是特定职业技术。它不仅是设计方法，也是设计意图。通过几何，人造物得以与自然协调。在花园、防御工事和城市建设中，建筑师不仅展示出对这些知识和技术的掌握，也展示了将图纸精确的放大至现实生活世界的能力。（图11）
然而在建筑形式上，精确运转的理想几何世界与“模棱两可的”、“运动的”视觉感受之间似乎存在矛盾。（图12）这些新的表现形式需要借助新发展的投影几何才能理解。
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Footnote
1. Albert Einstein. Geometrie und Erfahrung. Erweiterte Fassung des Festvortrags gehalten an der preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin am 17. Januar 1921. Berlin, 1921: 3.
2. Heinrich Wölfflin. Renaissance und Barock: Eine Untersuchung über Wesen und Entstehung des Barockstils in Italien. München, 1888.
3. 同上: 32-33. “在卡比托广场的保守宫拱廊中，他（米开朗基罗）给出了一个丑陋的比例。上层建筑对下面的（太小的）柱子施加了巨大的压力，以至于它们被迫靠在跨越两层的壁柱上。我们相信，这些柱子只是被迫的。这种印象部分是由于柱子间隔比例的高度不合理和反常的挤压造成的，它不可能是一个满意的，因此也不可能是一个自发的形式。”
4. 在此有两点需要澄清：1. 对于沃尔夫林来说，文艺复兴与巴洛克的区分并不像植物分类一般绝对，而是像形态学一般相对、连续、灵活。2. 尽管艺术史家首先在16 与17 世纪之交的艺术作品中识别出了这种风格，但他并没有将此概念局限于某个时代，而将它看作一种反复出现的风格倾向。在他同时代发掘出的帕加马祭坛中（Pergamonaltar， 公元前2 世纪， 希腊化时期）， 在印象派绘画与摄影作品中，他都发现了同样的巴洛克倾向。马歇尔· 布朗［Marshall Brown］ 在对沃尔夫林的著作《艺术史的基本原则》（Kunstgeschichtliche Grundbegriffe, 1915）的分析中精彩剖析了沃尔夫林的历史哲学与基本观念。参见Marshall Brown. “The Classic Is the Baroque: On the Principle of Wölfflin's Art History.” Critical Inquiry, Vol. 9, No. 2 (Dec., 1982): 379-404.
5. 尽管在艺术作品与这些或那些宗教、哲学、科学、政治、社会的现象之间建立确定的联系起来总是显得片面且随意，为了理解作品的意图，我们却总是需要一些中介来理解其被创作出来的环境。对于这种危险却难以避免的行为的解释参见Michael Baxandall. Patterns of Intention. On the Historical Explanation of Picture. New Haven and London, 1985. 其中第三章有关夏尔丹（Jean Siméon Chardin, 1699-1779）的绘画，为巴洛克的视觉模式提供了精彩的解读。
6. 参见Guarino Guarini. Architettura Civile del Padre D. Guarino Guarini. Cherico Regolare opera postume dedicata a Sua Sacre Reale Maesta. Torino, 1737: 前言.
7. Dagobert Frey, “Beiträge zur Geschichte der römischen Barockarchitektur,” Wiener Jahrbuch für Kunstgeschichte 3, no. 17 (1924): 5–113. 参见Werner Oechslin. “On Borromini’s drawings and ‘practical geometry’: Voleva dentro una cosa cavare un’altra, e nell’altra l’altra senza fi nire mai.” Finding San Carlino: Collected Perspectives on the Geometry of the Baroque. ed. by Adil Mansure and Skender Luarasi, London, 2020: 8-24.
8. 又称为黄金分割数，其数列由0 和1 开始，之后的数字由之前的两数相加而得出.
9. Rudolf Wittkower. Architectural Principles in the Age of Humanism(1949). New York/London: W.W.Norton & Company, 1971. 值得注意的是维特科尔的解读在建筑史家和音乐史家之间均不乏争议： 一方面建筑师们对音乐知识的实际掌握情况值得怀疑；另一方面在维特科尔讨论的重点集中在15 与16 世纪。在他的叙事中，17 和18 世纪是建筑中的和谐比例法则被破坏和忘记的时刻，而更多的史料证明， 这或许是对建筑与音乐之间的学科互动进行系统性反思的时刻。参见Alina Payne. “Rudolf Wittkower and Architectural Principles in the Age of Modernism.” Journal of the Society of Architectural Historians 53 (1994): 322-342.
10. Wittkower. Architectural Principles in the Age of Humanism: 60-61. 特里西诺赋予了来自帕多瓦的石匠Andrea di Pietro della Gondola 以帕拉弟奥（源自智慧女神Pallas Athene）之名，并资助他数次去罗马游学考察古代建筑.
11. Juan Bautista Villalpando, and Jerônimo del Prado. In Ezechielem explanationes et apparatus urbis, ac templi Hierosolymitani commentariis et imaginibus illustratus. Opus tribus tomis distinctum. Roma, 1596–1604.
12. François Blondel. Cours D’Architecture Enseigné Dans L’Academie Royale D’Architecture. Vol. 5, 2. Edition, Paris, 1698: 759. 尽管宇宙是按照“和谐”的规律被创造的这一理念在此刻已受到了严重的挑战， 以佩罗［Claude Perrault, 1613-1688］对维特鲁威批判性的解读为代表。
13. 柏拉图几何体指柏拉图在《蒂迈欧篇》中提及的四面体，六面体，八面体，十二面体和二十面体，它们分别与五元素——水、空气、火、土、和以太——相对应。
14. Noam Andrews 最近出版的专著通过对物品的细致解读生动的讲述了这一历史. Noam Andrews. The Polyhedrists. Art and Geometry in the Long Sixteenth Century. Cambridge, Mass./London, 2022.
15. 对于巴洛克时期几何绘图发展的讨论参见Gisela Leisse. Geometrie und Stadtgestalt. Praktische Geometrie in der Stadt- und Landschaftsplanung der Frühen Neuzeit. Diss. Institut für Kunst-und Bildgeschichte der Humboldt- Universität zu Berlin, 2010.
2. Heinrich Wölfflin. Renaissance und Barock: Eine Untersuchung über Wesen und Entstehung des Barockstils in Italien. München, 1888.
3. 同上: 32-33. “在卡比托广场的保守宫拱廊中，他（米开朗基罗）给出了一个丑陋的比例。上层建筑对下面的（太小的）柱子施加了巨大的压力，以至于它们被迫靠在跨越两层的壁柱上。我们相信，这些柱子只是被迫的。这种印象部分是由于柱子间隔比例的高度不合理和反常的挤压造成的，它不可能是一个满意的，因此也不可能是一个自发的形式。”
4. 在此有两点需要澄清：1. 对于沃尔夫林来说，文艺复兴与巴洛克的区分并不像植物分类一般绝对，而是像形态学一般相对、连续、灵活。2. 尽管艺术史家首先在16 与17 世纪之交的艺术作品中识别出了这种风格，但他并没有将此概念局限于某个时代，而将它看作一种反复出现的风格倾向。在他同时代发掘出的帕加马祭坛中（Pergamonaltar， 公元前2 世纪， 希腊化时期）， 在印象派绘画与摄影作品中，他都发现了同样的巴洛克倾向。马歇尔· 布朗［Marshall Brown］ 在对沃尔夫林的著作《艺术史的基本原则》（Kunstgeschichtliche Grundbegriffe, 1915）的分析中精彩剖析了沃尔夫林的历史哲学与基本观念。参见Marshall Brown. “The Classic Is the Baroque: On the Principle of Wölfflin's Art History.” Critical Inquiry, Vol. 9, No. 2 (Dec., 1982): 379-404.
5. 尽管在艺术作品与这些或那些宗教、哲学、科学、政治、社会的现象之间建立确定的联系起来总是显得片面且随意，为了理解作品的意图，我们却总是需要一些中介来理解其被创作出来的环境。对于这种危险却难以避免的行为的解释参见Michael Baxandall. Patterns of Intention. On the Historical Explanation of Picture. New Haven and London, 1985. 其中第三章有关夏尔丹（Jean Siméon Chardin, 1699-1779）的绘画，为巴洛克的视觉模式提供了精彩的解读。
6. 参见Guarino Guarini. Architettura Civile del Padre D. Guarino Guarini. Cherico Regolare opera postume dedicata a Sua Sacre Reale Maesta. Torino, 1737: 前言.
7. Dagobert Frey, “Beiträge zur Geschichte der römischen Barockarchitektur,” Wiener Jahrbuch für Kunstgeschichte 3, no. 17 (1924): 5–113. 参见Werner Oechslin. “On Borromini’s drawings and ‘practical geometry’: Voleva dentro una cosa cavare un’altra, e nell’altra l’altra senza fi nire mai.” Finding San Carlino: Collected Perspectives on the Geometry of the Baroque. ed. by Adil Mansure and Skender Luarasi, London, 2020: 8-24.
8. 又称为黄金分割数，其数列由0 和1 开始，之后的数字由之前的两数相加而得出.
9. Rudolf Wittkower. Architectural Principles in the Age of Humanism(1949). New York/London: W.W.Norton & Company, 1971. 值得注意的是维特科尔的解读在建筑史家和音乐史家之间均不乏争议： 一方面建筑师们对音乐知识的实际掌握情况值得怀疑；另一方面在维特科尔讨论的重点集中在15 与16 世纪。在他的叙事中，17 和18 世纪是建筑中的和谐比例法则被破坏和忘记的时刻，而更多的史料证明， 这或许是对建筑与音乐之间的学科互动进行系统性反思的时刻。参见Alina Payne. “Rudolf Wittkower and Architectural Principles in the Age of Modernism.” Journal of the Society of Architectural Historians 53 (1994): 322-342.
10. Wittkower. Architectural Principles in the Age of Humanism: 60-61. 特里西诺赋予了来自帕多瓦的石匠Andrea di Pietro della Gondola 以帕拉弟奥（源自智慧女神Pallas Athene）之名，并资助他数次去罗马游学考察古代建筑.
11. Juan Bautista Villalpando, and Jerônimo del Prado. In Ezechielem explanationes et apparatus urbis, ac templi Hierosolymitani commentariis et imaginibus illustratus. Opus tribus tomis distinctum. Roma, 1596–1604.
12. François Blondel. Cours D’Architecture Enseigné Dans L’Academie Royale D’Architecture. Vol. 5, 2. Edition, Paris, 1698: 759. 尽管宇宙是按照“和谐”的规律被创造的这一理念在此刻已受到了严重的挑战， 以佩罗［Claude Perrault, 1613-1688］对维特鲁威批判性的解读为代表。
13. 柏拉图几何体指柏拉图在《蒂迈欧篇》中提及的四面体，六面体，八面体，十二面体和二十面体，它们分别与五元素——水、空气、火、土、和以太——相对应。
14. Noam Andrews 最近出版的专著通过对物品的细致解读生动的讲述了这一历史. Noam Andrews. The Polyhedrists. Art and Geometry in the Long Sixteenth Century. Cambridge, Mass./London, 2022.
15. 对于巴洛克时期几何绘图发展的讨论参见Gisela Leisse. Geometrie und Stadtgestalt. Praktische Geometrie in der Stadt- und Landschaftsplanung der Frühen Neuzeit. Diss. Institut für Kunst-und Bildgeschichte der Humboldt- Universität zu Berlin, 2010.